逆 行列 2x2。 NumPyの行列演算入門

[B! 行列] 2x2行列と3x3行列と4x4行列の逆行列の公式

逆 行列 2x2

列要素を入力うぃ、ボタンをクリックするだけです。 余分なセルを 空のままにしておいて非正方行列を入力してください。 14、 -1. 3 56 、または 1. 行列ついてもっと学ぶには、を使用してください。 消す セル または 共用 挿入 Thanks to:• Philip Petrov for Bulgarian translation• Manuel Rial Costa for Galego translation• Shio Kun for Chinese translation• for Macedonian translation• for Turkish translation• Ousama Malouf and Yaseen Ibrahim for Arabic translation• - improving of the German translation• - fixing the translation into Catalan.

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逆行列

逆 行列 2x2

行列・行列式がなぜ考えられたのか、歴史みたいのを教えてください。 なんでこのような概念が生まれたのかが分からないので、どうもすっきりしません。 以下のような感じで教えていただけると嬉しいです。 (微分積分の場合) 当時ヨーロッパでは、領土を拡大しようとたびたび戦をしていた。 当時の戦の武器で、威力を発揮していたのは大砲だった。 大砲をいかに正確に敵対国に打ち込むかということが研究されていた。 この問題を考えるにあたって、ある時間での弾丸の速さと向きを正確に知るのに用いられる接線について考察される。 結果、2点間の距離を限りなく小さくすれば接線になると気付き、そこから微分が発展。 一方積分の概念は古くからあり、曲線に囲まれた面積(四角形や三角形などの単純な図形でないものの面積)などを求めるために発展。 微分と積分が逆演算であることをニュートンが気づき、現在の形になっていく。 このような感じの、概念のひな型がどのように浮上したのかや、研究しようと思ったそもそものきっかけ、時代背景などを簡単に教えてもらいたいです! 数学史に詳しい方、どうぞよろしくお願いします。 回答お待ちしております。 別に「数学史」詳しいわけではないが・・・、 以下のURLなどは見られただろうか・・・!? 確認済みであればご容赦! --------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------- ・・・のなかの連立一次方程式の解法において行列の考え方の萌芽があるらしいとの事である。 ただ各行各列から成分を1つずつ取り出し、それらの積に添字についてのsgnを行っただけで、例えば2次の場合、「あっ、こうすれば逆行列求める時に使えるad-bcになるじゃん。 」といったような簡単な発想から生まれたのでしょうか。 それとも、行列のad-bcからこのような計算になるようなものはないかといきついた結果なのでしょうか。 それともどちらとも違うのか・・・。 定義の計算方法については理解できたのですが、実際にそれを使うとなるとなぜ適用できるのかまったく理解できません。 疑問に思うことをまとめると、 ・どのような発想から行列式の定義のあの式はうまれてきたのか ・2次は実際に逆行列を求める際にad-bcとなるので、行列式をそのまま使えるが、3次以上はなぜ適用できるか、そもそも具体例がわからない どなたかわかる方いましたら回答よろしくお願いします。 A ベストアンサー 昔は多元連立一次方程式を系統的に解く事は、大目標でした(実用的には、今でもそうです)。 なので、2元連立一次方程式,3元連立,4元連立,・・・と、n元連立の一般的な形を地道に手計算で解いて行った訳です。 その過程で当然、2次の行列式,3次の行列式,4次の行列式,・・・も計算しました。 以前調べた事があるのですが、少なくとも6次の行列式までは、[ad-bc]タイプの展開公式があります。 しかしそこまでやれば、法則性が見えてきます。 これはsgn i1,i2,・・・,in と実質的に同じなのですが、違いは、i1,i2,・・・,inの中に重複する番号があっても定義され、その場合は0になると決めた事です。 そうでない場合(i1,i2,・・・,inの番号が全部違う場合)は、sgnと一致します(そう決めた)。 たったこれだけの事で、 2 の積和は形式的には、 a11+a12+・・・+a1n a21+a22+・・・+a2n ・・・ an1+an2+・・・+ann 3 に対応します。 このようにして行列式の計算法は整備され、特に 2 を用いて行列式の特徴的な性質が導かれた後(計算しやすいので)、行列式による連立一次方程式の解の表現であるクラーメルの公式が導かれます。 wikipedia. で参考URLの形は、2元連立一次方程式,3元連立,4元連立,・・・と、n元連立の一般的な形を地道に手計算で解いて行った過程で、既に予想されていたんですよ。 昔は多元連立一次方程式を系統的に解く事は、大目標でした(実用的には、今でもそうです)。 なので、2元連立一次方程式,3元連立,4元連立,・・・と、n元連立の一般的な形を地道に手計算で解いて行った訳です。 その過程で当然、2次の行列式,3次の行列式,4次の行列式,・・・も計算しました。 以前調べた事があるのですが、少なくとも6次の行列式までは、[ad-bc]タイプの展開公式があります。 A ベストアンサー 行列式の意味にはいろいろな立場から複数の解釈があると思いますが、その中の一つとして、行列式は線型変換の"倍率"であると言えます。 Aという行列は様々な x;y をそれぞれの u;v に変換するので、x-y平面をu-v平面に変換しているとも考えられます。 行列が行う変換はいわゆる線型変換ですから、原点中心の拡大縮小か剪断のみです。 ですから行列によって平面を別の平面に変換したときも、変換前の平面と変換後の平面は、それぞれの軸の目盛りの幅が違ったり二つの軸の交わる角度が違ったりというような違いがあります。 さてここからが本番です。 いまx-y平面上で二つのベクトル a;b , c;d を考え、この二つのベクトルによって作られる平行四辺形を考えます。 そうしてこの新たな二つのベクトルによって作られる新たな平行四辺形を考えてみます。 特に注目するのは平行四辺形の面積が変換によってどう変わるかです。 結論から言うと、行列Aで平面を変換した結果、変換後の平行四辺形の面積は変換前の面積より A 倍に引き延ばされていると言えるのです。 これは"ある平行四辺形"に対してだけの話ではなく、Aという変換によって平面全体が 大きさの目安として A 倍に引き延ばされたと考えられるのです。 といってもただ拡大されたのとは違いますよ。 剪断がありますから。 なぜそんな事が言えるのか、それはx-y平面における単位ベクトル 1;0 , 0;1 が作る単位平行四辺形を線型変換してみて、変換後のu-v平面における単位平行四辺形の面積を求めて見ればわかるでしょう。 それはご自身でやってみてください。 いままでのは2次元平面での話でしたが、これをn次元に拡張することもできます。 線型変換Aと変換の倍率 A が対応しているわけです。 行列式の意味にはいろいろな立場から複数の解釈があると思いますが、その中の一つとして、行列式は線型変換の"倍率"であると言えます。 Aという行列は様々な x;y をそれぞれの u;v に変換するので、x-y平面をu-v平面に変換... Q 私は文系出身の32歳会社員です。 ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと 独学で最近始めました。 そこで... 本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが... 1 何のために固有値を求めるのでしょうか? 2 何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか? 3 何のために行列の対角化を行うのでしょうか? 回答は歴史的背景、学術的背景、感情... etc、なんでも結構です。 例 ・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。 ・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっきりするから「数列」ではなく「ベクトル」と呼んでみた。 ・意味はない!目的はない!ただ数学として突き詰めているだけだ!... などなど あっ、でも急を要している訳ではないので もしご存知の方、もしくは自論をお持ちの方は お時間のある方はご回答いただければ幸いです。 ちなみにテキストは共立出版の『やさしく学べる基礎数学~線形代数・微分積分~です。 やっと線形代数が終わって、微分積分に入ろうというところで、ふと疑問を持ってしまいました... ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと 独学で最近始めました。 そこで... 本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが... 1 何のために固有値を求めるのでしょうか? 2 何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか? 3 何のために行列の対角化を行うのでしょうか? 回答は歴史的背景、学術的背景、感情... etc、なんでも結構です。 例 ・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。 ・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっ... A ベストアンサー 詳しくないけど。 行列式は行列の「附属物」です。 行列式とは行列の性質を表わす、一種の「指標」です。 det A は実数なので、行列に比べて格段に扱いやすく、しかも色々お徳。 詳しくないけど。 行列式は行列の「附属物」です。 (日本語) ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド MS-IMEはデルで変換します。 JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。 そこで、次のようなことを教えてください。 1 分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い 2 上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方 3 初心者に教えるときのお勧めの読み方 4 他の読み方、あるいはニックネーム A ベストアンサー こんちには。 電気・電子工学系です。 (1) 工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。 この辺りは物理・数学系っぽいですね。 申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。 (3) 初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。 (4) 私はちょっと知りません。 ごめんなさい。 ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。 (2) 専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。 質問の順番入れ替えました。 オチなんで。 これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。 が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。 「両辺をdy倍して…」等々、、、 また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。 やはり分数なのですか? 何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました 一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい のにとも思ったりします。 実際の所、 dxの定義は何なんですか? dyの定義は何なのですか? 本当はdxとdyはばらばらにできるのですか? どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。 A ベストアンサー 数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。 ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。 dxというのは微分形式の立場からいうと、xという 座標 関数の全微分のこと、つまりd x のことです。 dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。 別の座標yを取ったとき、yの全微分をd y と書きます。 現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。 そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。 もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。 なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。 さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。 これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。 さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。 それが次の式です。 大学では多変数バージョンを普通やります。 これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。 代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。 いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d x やd y は単独に定義できる諸量です。 もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。 分数の表記は形式的な意味しか持ちません。 むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。 左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。 いずれも同じ関数f' x になっているのです。 学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。 うまく出来すぎていると感嘆するほどです。 そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。 なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。 物理などでよく使われる考え方です。 またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。 数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。 ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。 dxというのは微分形式の立場からいうと、xという 座標 関数の全微分のこと、つまりd x のことです。 dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。 別の座標yを取ったとき、yの全微分をd y と書きます。 現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、... 便宜上R上としましたが、C上と読み替えても問題ありません この線型写像Tがどんな写像であるかは、Tを見れば分かる事なので、「行列」というものがなくても数学的には何も困りません。 つまり、行列の言葉で書かれている定理は基本的に線型写像の言葉で書ける しかし、線型写像を扱うのは人なので、「分かりにくい イメージしにくい 抽象的なもの」よりは、「分かりやすい イメージしやすい 具体的なもの」の方がうれしいですよね。 そこで、この線型写像の和とスカラー倍の構造が、そのまま「行列」の和とスカラー倍になるように、「行列」の和とスカラー倍を定義します。 という訳で、 >なんの理由、なんの目的があってそのような定義がされるのでしょうか? 上のように定義することによって、 線型写像の和とスカラー倍と合成が、簡単に・具体的に計算できるからです。 つまり、線型写像の和とスカラー倍と合成が、上の定義から、 行列の和:成分ごとの足し算 行列のスカラー倍:各成分のスカラー倍 行列の積:普段使っている「行列の掛け算」 という簡単に・具体的に計算ができるものになるからです。 話が逆です。 行列の積が、「行列とベクトルの積」に一致するように「行列の積」を定義したのではなく、 ベクトルの座標を縦ベクトルで表現しておくと、 「行列とベクトルの積」の計算方法と、 縦ベクトルを自然にn行1列の行列とみなした時の 行列の積と計算方法が全く同じものになります。 だから、ベクトルの座標を縦ベクトルで書いているに過ぎません。 便宜上R上としましたが、C上と読み替えても問題ありません この線型写像Tがどんな写像であるかは、Tを見れば分かる事なので、「行列」というものがなくても数学的には何も困りません。 つまり、行列の言葉で書かれている定理は基本的に線型写像の言葉で書ける しかし、線型写像を扱うのは人なので、「分かりにくい イメージしにくい 抽象的なもの」よりは、「分かりやすい イ...

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4x4までの逆行列の直接解法

逆 行列 2x2

行列・行列式がなぜ考えられたのか、歴史みたいのを教えてください。 なんでこのような概念が生まれたのかが分からないので、どうもすっきりしません。 以下のような感じで教えていただけると嬉しいです。 (微分積分の場合) 当時ヨーロッパでは、領土を拡大しようとたびたび戦をしていた。 当時の戦の武器で、威力を発揮していたのは大砲だった。 大砲をいかに正確に敵対国に打ち込むかということが研究されていた。 この問題を考えるにあたって、ある時間での弾丸の速さと向きを正確に知るのに用いられる接線について考察される。 結果、2点間の距離を限りなく小さくすれば接線になると気付き、そこから微分が発展。 一方積分の概念は古くからあり、曲線に囲まれた面積(四角形や三角形などの単純な図形でないものの面積)などを求めるために発展。 微分と積分が逆演算であることをニュートンが気づき、現在の形になっていく。 このような感じの、概念のひな型がどのように浮上したのかや、研究しようと思ったそもそものきっかけ、時代背景などを簡単に教えてもらいたいです! 数学史に詳しい方、どうぞよろしくお願いします。 回答お待ちしております。 別に「数学史」詳しいわけではないが・・・、 以下のURLなどは見られただろうか・・・!? 確認済みであればご容赦! --------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------- ・・・のなかの連立一次方程式の解法において行列の考え方の萌芽があるらしいとの事である。 ただ各行各列から成分を1つずつ取り出し、それらの積に添字についてのsgnを行っただけで、例えば2次の場合、「あっ、こうすれば逆行列求める時に使えるad-bcになるじゃん。 」といったような簡単な発想から生まれたのでしょうか。 それとも、行列のad-bcからこのような計算になるようなものはないかといきついた結果なのでしょうか。 それともどちらとも違うのか・・・。 定義の計算方法については理解できたのですが、実際にそれを使うとなるとなぜ適用できるのかまったく理解できません。 疑問に思うことをまとめると、 ・どのような発想から行列式の定義のあの式はうまれてきたのか ・2次は実際に逆行列を求める際にad-bcとなるので、行列式をそのまま使えるが、3次以上はなぜ適用できるか、そもそも具体例がわからない どなたかわかる方いましたら回答よろしくお願いします。 A ベストアンサー 昔は多元連立一次方程式を系統的に解く事は、大目標でした(実用的には、今でもそうです)。 なので、2元連立一次方程式,3元連立,4元連立,・・・と、n元連立の一般的な形を地道に手計算で解いて行った訳です。 その過程で当然、2次の行列式,3次の行列式,4次の行列式,・・・も計算しました。 以前調べた事があるのですが、少なくとも6次の行列式までは、[ad-bc]タイプの展開公式があります。 しかしそこまでやれば、法則性が見えてきます。 これはsgn i1,i2,・・・,in と実質的に同じなのですが、違いは、i1,i2,・・・,inの中に重複する番号があっても定義され、その場合は0になると決めた事です。 そうでない場合(i1,i2,・・・,inの番号が全部違う場合)は、sgnと一致します(そう決めた)。 たったこれだけの事で、 2 の積和は形式的には、 a11+a12+・・・+a1n a21+a22+・・・+a2n ・・・ an1+an2+・・・+ann 3 に対応します。 このようにして行列式の計算法は整備され、特に 2 を用いて行列式の特徴的な性質が導かれた後(計算しやすいので)、行列式による連立一次方程式の解の表現であるクラーメルの公式が導かれます。 wikipedia. で参考URLの形は、2元連立一次方程式,3元連立,4元連立,・・・と、n元連立の一般的な形を地道に手計算で解いて行った過程で、既に予想されていたんですよ。 昔は多元連立一次方程式を系統的に解く事は、大目標でした(実用的には、今でもそうです)。 なので、2元連立一次方程式,3元連立,4元連立,・・・と、n元連立の一般的な形を地道に手計算で解いて行った訳です。 その過程で当然、2次の行列式,3次の行列式,4次の行列式,・・・も計算しました。 以前調べた事があるのですが、少なくとも6次の行列式までは、[ad-bc]タイプの展開公式があります。 A ベストアンサー 行列式の意味にはいろいろな立場から複数の解釈があると思いますが、その中の一つとして、行列式は線型変換の"倍率"であると言えます。 Aという行列は様々な x;y をそれぞれの u;v に変換するので、x-y平面をu-v平面に変換しているとも考えられます。 行列が行う変換はいわゆる線型変換ですから、原点中心の拡大縮小か剪断のみです。 ですから行列によって平面を別の平面に変換したときも、変換前の平面と変換後の平面は、それぞれの軸の目盛りの幅が違ったり二つの軸の交わる角度が違ったりというような違いがあります。 さてここからが本番です。 いまx-y平面上で二つのベクトル a;b , c;d を考え、この二つのベクトルによって作られる平行四辺形を考えます。 そうしてこの新たな二つのベクトルによって作られる新たな平行四辺形を考えてみます。 特に注目するのは平行四辺形の面積が変換によってどう変わるかです。 結論から言うと、行列Aで平面を変換した結果、変換後の平行四辺形の面積は変換前の面積より A 倍に引き延ばされていると言えるのです。 これは"ある平行四辺形"に対してだけの話ではなく、Aという変換によって平面全体が 大きさの目安として A 倍に引き延ばされたと考えられるのです。 といってもただ拡大されたのとは違いますよ。 剪断がありますから。 なぜそんな事が言えるのか、それはx-y平面における単位ベクトル 1;0 , 0;1 が作る単位平行四辺形を線型変換してみて、変換後のu-v平面における単位平行四辺形の面積を求めて見ればわかるでしょう。 それはご自身でやってみてください。 いままでのは2次元平面での話でしたが、これをn次元に拡張することもできます。 線型変換Aと変換の倍率 A が対応しているわけです。 行列式の意味にはいろいろな立場から複数の解釈があると思いますが、その中の一つとして、行列式は線型変換の"倍率"であると言えます。 Aという行列は様々な x;y をそれぞれの u;v に変換するので、x-y平面をu-v平面に変換... Q 私は文系出身の32歳会社員です。 ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと 独学で最近始めました。 そこで... 本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが... 1 何のために固有値を求めるのでしょうか? 2 何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか? 3 何のために行列の対角化を行うのでしょうか? 回答は歴史的背景、学術的背景、感情... etc、なんでも結構です。 例 ・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。 ・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっきりするから「数列」ではなく「ベクトル」と呼んでみた。 ・意味はない!目的はない!ただ数学として突き詰めているだけだ!... などなど あっ、でも急を要している訳ではないので もしご存知の方、もしくは自論をお持ちの方は お時間のある方はご回答いただければ幸いです。 ちなみにテキストは共立出版の『やさしく学べる基礎数学~線形代数・微分積分~です。 やっと線形代数が終わって、微分積分に入ろうというところで、ふと疑問を持ってしまいました... ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと 独学で最近始めました。 そこで... 本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが... 1 何のために固有値を求めるのでしょうか? 2 何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか? 3 何のために行列の対角化を行うのでしょうか? 回答は歴史的背景、学術的背景、感情... etc、なんでも結構です。 例 ・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。 ・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっ... A ベストアンサー 詳しくないけど。 行列式は行列の「附属物」です。 行列式とは行列の性質を表わす、一種の「指標」です。 det A は実数なので、行列に比べて格段に扱いやすく、しかも色々お徳。 詳しくないけど。 行列式は行列の「附属物」です。 (日本語) ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド MS-IMEはデルで変換します。 JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。 そこで、次のようなことを教えてください。 1 分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い 2 上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方 3 初心者に教えるときのお勧めの読み方 4 他の読み方、あるいはニックネーム A ベストアンサー こんちには。 電気・電子工学系です。 (1) 工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。 この辺りは物理・数学系っぽいですね。 申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。 (3) 初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。 (4) 私はちょっと知りません。 ごめんなさい。 ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。 (2) 専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。 質問の順番入れ替えました。 オチなんで。 これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。 が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。 「両辺をdy倍して…」等々、、、 また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。 やはり分数なのですか? 何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました 一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい のにとも思ったりします。 実際の所、 dxの定義は何なんですか? dyの定義は何なのですか? 本当はdxとdyはばらばらにできるのですか? どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。 A ベストアンサー 数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。 ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。 dxというのは微分形式の立場からいうと、xという 座標 関数の全微分のこと、つまりd x のことです。 dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。 別の座標yを取ったとき、yの全微分をd y と書きます。 現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。 そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。 もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。 なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。 さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。 これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。 さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。 それが次の式です。 大学では多変数バージョンを普通やります。 これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。 代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。 いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d x やd y は単独に定義できる諸量です。 もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。 分数の表記は形式的な意味しか持ちません。 むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。 左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。 いずれも同じ関数f' x になっているのです。 学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。 うまく出来すぎていると感嘆するほどです。 そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。 なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。 物理などでよく使われる考え方です。 またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。 数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。 ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。 dxというのは微分形式の立場からいうと、xという 座標 関数の全微分のこと、つまりd x のことです。 dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。 別の座標yを取ったとき、yの全微分をd y と書きます。 現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、... 便宜上R上としましたが、C上と読み替えても問題ありません この線型写像Tがどんな写像であるかは、Tを見れば分かる事なので、「行列」というものがなくても数学的には何も困りません。 つまり、行列の言葉で書かれている定理は基本的に線型写像の言葉で書ける しかし、線型写像を扱うのは人なので、「分かりにくい イメージしにくい 抽象的なもの」よりは、「分かりやすい イメージしやすい 具体的なもの」の方がうれしいですよね。 そこで、この線型写像の和とスカラー倍の構造が、そのまま「行列」の和とスカラー倍になるように、「行列」の和とスカラー倍を定義します。 という訳で、 >なんの理由、なんの目的があってそのような定義がされるのでしょうか? 上のように定義することによって、 線型写像の和とスカラー倍と合成が、簡単に・具体的に計算できるからです。 つまり、線型写像の和とスカラー倍と合成が、上の定義から、 行列の和:成分ごとの足し算 行列のスカラー倍:各成分のスカラー倍 行列の積:普段使っている「行列の掛け算」 という簡単に・具体的に計算ができるものになるからです。 話が逆です。 行列の積が、「行列とベクトルの積」に一致するように「行列の積」を定義したのではなく、 ベクトルの座標を縦ベクトルで表現しておくと、 「行列とベクトルの積」の計算方法と、 縦ベクトルを自然にn行1列の行列とみなした時の 行列の積と計算方法が全く同じものになります。 だから、ベクトルの座標を縦ベクトルで書いているに過ぎません。 便宜上R上としましたが、C上と読み替えても問題ありません この線型写像Tがどんな写像であるかは、Tを見れば分かる事なので、「行列」というものがなくても数学的には何も困りません。 つまり、行列の言葉で書かれている定理は基本的に線型写像の言葉で書ける しかし、線型写像を扱うのは人なので、「分かりにくい イメージしにくい 抽象的なもの」よりは、「分かりやすい イ...

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